Ausgabe 3/2004
05/01/04
Berechnung des Aufwärtsspitzenverkehrs – ein verbessertes Verfahren
Dr.-Ing. Julian Jimenez
Das herkömmliche Verfahren zur Berechnung der zu erwartenden Anzahl Halte und der höchsten Umkehretage bei Aufzugsanlagen während einer Aufwärtsspitze bei gleichmäßiger Belegungsdichte der Etagen und zeitlich gleichmäßig verteiltem Fahrgastaufkommen schließt ein, dass es sich bei der Zahl der vom Aufzug angefahrenen Haltestellen um eine zufällige Variable mit einer Binomialverteilung handelt. Diese Annahme ist jedoch nicht korrekt.
Kategorie: Fachaufsaetze Ausgabe 3/2004
Erstellt von: Editor
Das nachstehend beschriebene Verfahren zur Durchführung dieser Berechnung erlaubt nicht nur, die richtigen Erwartungswerte dieser Variablen, sondern auch die detaillierte Wahrscheinlichkeitsverteilung derselben zu bestimmen.
Herkömmliche Berechnungsmethode
Das herkömmliche Verfahren zur Berechnung der zu erwartenden Zahl der Halte (S*) und der höchstgelegenen Umkehretage (H*) von Aufzugsanlagen während der Aufwärtsspitzen bei Etagen mit ei-ner gleichmäßigen Belegungsdichte und unter der Annahme, dass das Fahrgastaufkommen zeitlich gleichmäßig verteilt ist, führt zu den bekannten Aussagen:
wobei N die Anzahl der vom Aufzug angefahrenen Etagen und m die Anzahl der Fahrgäste in der Kabine darstellen.
Diese Berechnungsmethode beinhaltet die Annahme, dass die Anzahl der vom Aufzug angefahrenen Haltestellen eine zufällige Variable mit einer Binomialverteilung ist. In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeiten, dass der Aufzug k mal hält, von k=0 bis k=N, durch die Glieder der Binomialentwicklung vorgegeben (Gleichung [3])
Diese Berechnungsmethode beinhaltet die Annahme, dass die Anzahl der vom Aufzug angefahrenen Haltestellen eine zufällige Variable mit einer Binomialverteilung ist. In diesem Fall sind die Wahrscheinlichkeiten, dass der Aufzug k mal hält, von k=0 bis k=N, durch die Glieder der Binomialentwicklung vorgegeben (Gleichung [3])
Dabei sind p und N die Parameter der Verteilung und q = 1 – p. Der Parameter p stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass der Aufzug auf einer bestimmten Etage hält. Da alle Etagen eine angenommene gleichmäßige Belegung aufweisen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Etage die Zieletage einer der m Kabinenfahrgäste ist, 1/N. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fahrgast eine andere Etage als Fahrziel hat, ist (1–1/N), da beide Ereignisse unvereinbar sind. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Etage nicht das Ziel eines beliebigen Fahrgastes ist,
In diesem Fall hält der Aufzug nicht auf dieser speziellen Etage. Die Wahrscheinlichkeit des umgekehrten Falls, d. h. der Aufzug hält auf dieser Etage, ist
Offenkundig ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufzug an mehreren Stellen zwischen 0 und k hält
Da p + q = 1, muss auch die Summe der Glieder aus [3] nach der Binomialformel gleich 1 sein.
Da die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Haltestellenzahl (S) eine binomische ist (von Parameter p und N), ist der Mittelwert von S gleich S* = N p. Das ist die gleiche Aussage wie [1]. Die Varianz V(S) ist gleich N p q.
Überarbeitung der herkömmlichen Berechnungsmethode
Tatsächlich ist die bei der o. g. herkömmlichen Berechnung des Aufwärtsspitzenverkehrs gemachte Annahme, dass die Anzahl der von einem Aufzug angefahrenen Haltestellen einer binomischen Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt, nicht korrekt. Dies zeigt sich dadurch, dass eine derartige Annahme zu eini- gen falschen Schlussfolgerungen führt:
i) Es ist möglich, dass der Aufzug überhaupt nicht hält, was dem ersten Glied aus Gleichung [3] entspricht. Diese Schlussfolgerung ist augenfällig falsch, weil ein Aufzug während einer Aufwärtsspitze mindestens einmal halten muss.
ii) Die Anzahl der angefahrenen Haltestellen kann größer als die Zahl der Fahrgäste in der Kabine sein, was den Gliedern der Gleichung [3] entspricht, da m < k ≤ N. Auch diese Schlussfolgerung ist falsch, weil es offensichtlich ist, dass die maximale Haltestellenzahl während einer Aufwärtsspitze mit der Zahl der transportierten Fahrgäste übereinstimmt.
Konsequenterweise kann die Summe der Binomialgleichung [3] nicht gleich 1 sein, sodass die Binomialverteilung nicht die eigentliche Verteilung der Anzahl angefahrener Haltestellen ist.
Kombinatorische Berechnung
Mit Hilfe einer kombinatorischen Analyse lässt sich die wahre Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl Haltestellen während einer Aufwärtsspitze bei einer gleichmäßigen Belegung der vom Aufzug angefahrenen Etagen bestimmen. Mit anderen Worten ist die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit, dass der Aufzug einige Male anhält, der Quotient aus der Anzahl der Möglichkeiten dieses Ereignisses und der Anzahl aller Möglichkeiten. Auf ähnliche Weise lässt sich auch die Verteilung der höchsten Umkehretage bestimmen. Mit Hilfe eines simplen Spreadsheets lassen sich die Berechnungen einfach durchführen.
Verteilung der Anzahl Haltestellen
Diese Vorgehensweise besteht im Wesentlichen aus einer Bewertung aller Gruppierungen von Fahrgästen in einer Kabine je nach Zieletage. Jede dieser Gruppierungen kann durch einen Satz von m ganzen Zahlen mit variablen Werten von 1 bis N dargestellt werden, wobei m für die Anzahl der von der Kabine transportierten Fahrgäste und N für die Anzahl der angefahrenen Etagen steht.
Eine dieser Gruppierungen für m = 8 und N = 10 könnte wie folgt aussehen:
Ein Aufzug mit einer derartigen Gruppierung, der vom Hauptgeschoss abfährt, wird 4-mal anhalten, d. h. so oft wie unterschiedliche Werte in der Gruppierung vorkommen und exakt auf den Etagen (5), (8), (9) und (10). Von den 8 Fahrgästen werden zwei den Aufzug auf der 5. Etage, einer auf der 8., zwei auf der 9. und drei auf der 10. Etage verlassen.
Eine Schlussfolgerung ist die, dass ein Aufzug mit dieser Verkehrskonstellation mit 8 Fahrgästen mindestens ein Mal und maximal acht Mal anhalten kann. Im ersten Fall haben alle Fahrgäste das gleiche und im zweiten Fall haben sie alle ein unterschiedliches Fahrziel.
Folgerichtig entspricht die Zahl der Haltestellen des Aufzugs der Anzahl unterschiedlicher Fahrgastgruppen mit dem gleichen Fahrziel. Die Tatsache, dass der Aufzug s Mal anhält, beinhaltet, dass es je nach Fahrziel s verschiedene Fahrgastgruppen gibt, die in
verschiedenen Fällen vorkommen können.
Im o. g. Beispiel, in dem N = 10 und s = 4 ist, ergeben sich
Fahrgastbefehle mit vier verschiedenen Zieletagen unter den 10 Möglichen gemäß [8].
Betrachten wir nun eine der möglichen Fahrgastgruppierungen aus [7] für eine mit 8 Fahrgästen belegte Kabine. Es ist offensichtlich, dass bei einer Permutierung der Zahlen jede dieser Permutierungen eine mögliche Gruppierung der Fahrgäste in der Kabine darstellt. Aber bei allen wird der Aufzug genauso oft und immer auf den selben Etagen halten. Die Gesamtzahl dieser Gruppierungen entspricht den Permutierungen von 8 Zahlen, in denen die (5) zweimal, die (8) einmal, die (9) zweimal und die (10) dreimal vorkommt.
Im Allgemeinen ist die Anzahl der Permutierungen von m Elementen, in denen es s verschiedene Elemente gibt (eines das n1 Mal, ein anderes das n2 Mal usw. wiederholt wird, bis das Element s ns Mal wiederholt wurde), siehe Gleichung [10]:
Diese Gleichung lässt sich einfach ableiten, wenn man berücksichtigt, dass die Anzahl der Permutierungen von m verschiedenen Elementen m! ist. Aber die n1!, n2!, ......, ns! Permutierungen, die wir durch Permutierung der wiederholten Elemente jeder Gruppe bilden können, sind nicht unterscheidbar.
Betrachtet man zum Beispiel die Folge [7], in der n1=2, n2=1, n3=2 und n4=3, d. h. (n1+n2+n3+n4)=8. So viele unterschiedliche Permutierungen können mit diesen Zahlen gebildet werden:
Betrachtet man zum Beispiel die Folge [7], in der n1=2, n2=1, n3=2 und n4=3, d. h. (n1+n2+n3+n4)=8. So viele unterschiedliche Permutierungen können mit diesen Zahlen gebildet werden:
Deshalb ist die Zahl der verschiedenen je nach Zieletage mit den Zahlen 1 bis m gebildeten Fahrgastgruppierungen, in denen es s verschiedene Anzahlen und daher s Haltestellen gibt:
wobei (n1+n2+ …… + ns) = m und n ist gleich der Anzahl möglicher Aufgliederungen der Zahl m in s Addenden. Dabei ist die höchste Zahl (m-s+1) und die niedrigste Zahl die Eins.
Daher ist die Gesamtzahl der möglichen Fahrgastgruppierungen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufzug s Mal anhält, ist:
Daher stellt diese Gleichung die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl Haltestellen des Aufzugs dar.
Der Erwartungs- oder Hauptwert dieser Variablen ist:
Im oben angeführten Beispiel mit N=10 und m=8, erhalten wir die nachfolgend in Tabelle 1 aufgeführten Ergebnisse.
Nach der herkömmlichen Berechnungsmethode und gemäß [1] würde man für S* einen Wert gleich 5,6953 erhalten.
Wahrscheinlichkeitsverteilung der höchsten Umkehretage
Kehren wir nun zurück zur Gleichung [7] mit 4 möglichen Fahrgastgruppierungen und daher 4 Haltestellen. Die Umkehretage ist die höchste Zahl dieser Gruppierung, d. h. 10. Dies ist die Umkehretage für alle sich aus diesen 4 Zahlen ergebenden Gruppierungen, ungeachtet der Permutierungen, die wir gemäß [10] durchführen können.
Betrachten wir dann das Beispiel mit den N = 10 möglichen Haltestellen, m = 8 Fahrgästen und s = 4 verschiedenen Nummern, dann muss man sich fragen, wie oft die 10. Etage die Umkehretage sein wird. Offensichtlich ist die Nummer (10) die höchste Etage, die der Aufzug während der Aufwärtsspitze in allen vorkommenden Fällen anfährt, d. h. exakt in C9³ = 84 Fällen. Die Nummer (9) ist die höchste Etage in den Fällen, in denen sie mit den verbleibenden Nummern vorkommt (mit Ausnahme von (10)), d. h. exakt in C8³ = 56 Fällen. Wir können diese Schlussfolgerung bis zur Nummer (4) fortsetzen, die die höchste Etage darstellt, wenn sie mit (3), (2) und (1) auftritt, d. h. exakt in C3³ =1 Fall. Die Nummern (3), (2) und (1) können in den Fällen, in denen wir vier Nummern haben, nicht die höchste Etage sein, da das vierte Stockwerk darüber liegt. Deshalb lässt sich die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen der N = 10 Elemente, die wir mit s = 4 verschiedenen Nummern bilden können, mit Hilfe der Gleichung [16] bestimmen:
Der erste Addend des zweiten Gliedes dieser Gleichung ist der einzige Fall, in dem (4) die höchste Umkehretage ist. Der zweite Addend repräsentiert die 4 Fälle, in denen es die Nummer (5) ist, und so weiter, bis zum siebten Glied, das für die 84 Fälle steht, in denen (10) die höchste Etage ist. In allen diesen Fällen ändern die Permutierungen, die wir mit ihren 8 Nummern gemäß [9] bilden können, nichts an der Tatsache, dass die höchste Umkehretage stets der Etage aus der Anfangskombination entspricht.
Gemäß [16] ist deshalb die Zahl der Kombinationen, in denen H (1 ≤ H ≤ N) die höchste Umkehretage bei einer vorgegebenen Haltestellenzahl s (1 ≤ s ≤ m) ist:
Gemäß [16] ist deshalb die Zahl der Kombinationen, in denen H (1 ≤ H ≤ N) die höchste Umkehretage bei einer vorgegebenen Haltestellenzahl s (1 ≤ s ≤ m) ist:
Dieser Wert ist bei H ≤ s-1 gleich Null, da (1) nicht die höchste Etage in den Kombinationen bestehend aus zwei unterschiedlichen Nummern sein kann, die (2) nicht die höchste Etage in den Kombinationen aus drei verschiedenen Nummern sein kann, usw.
Die Gesamtzahl der Fälle, in denen eine bestimmte Nummer H die höchste Umkehretage bei allen möglichen Werten von s ist, ergibt sich wie folgt:
Die Gesamtzahl der Fälle, in denen eine bestimmte Nummer H die höchste Umkehretage bei allen möglichen Werten von s ist, ergibt sich wie folgt:
wobei (n1+ n2+…..+ ns) = m
In Übereinstimmung mit den vorhergehenden Betrachtungen und den Ergebnissen aus der Tabelle 1 wird zum Beispiel ersichtlich, dass im Falle von N = 10 und m = 8 die Anzahl der Fahrgastgruppierungen, in denen H = 7 die höchste Umkehretage bei s = 5 ist, sich wie folgt darstellt:
Die Gesamtzahl der Fälle, in denen H die höchste Umkehretage ist, ist deshalb:
Andererseits ist klar, dass
Die Wahrscheinlichkeit, dass H die höchste Umkehretage ist, ergibt sich natürlich aus:
Diese letzte Gleichung stellt die Verteilung der Wahrscheinlichkeit der höchsten Umkehretage H dar.
Der Erwartungs- oder Mittelwert der höchsten Umkehretage ergibt sich aus:
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der höchsten Umkehretage und die Berechnung des Erwartungswerts dieser Variablen ist in Tabelle 2 für den Fall N = 10 und m = 8 enthalten.
Jede Zelle in dieser Tabelle enthält die Anzahl der Fälle, in denen die Etage in einer Zeile die höchste Umkehretage bei einer Haltestellenzahl einer Spalte ist. Das Ergebnis ergibt sich aus [18]. Wir können zum Beispiel feststellen, dass bei H = 7 und s = 5 das Ergebnis mit dem aus [19] übereinstimmt. Die vorletzte Spalte enthält die Gesamtzahl der Fälle, in denen der Zeilenwert die höchste Umkehretage darstellt. Wir sehen, dass die Gesamtsumme dieser Spalte mit der aus der Qs Spalte in Tabelle 1 übereinstimmt, weil beide die Gesamtzahl der möglichen Fahrgastgruppierungen bei N = 10 und m = 8 darstellen. Die letzte Spalte zeigt die Verteilung der Wahrscheinlichkeit von H gemäß [22].
Durch Anwendung der Gleichung [23] erhalten wir einen Wert H* = 9,36. Mit der herkömmlichen Berechnungsmethode würden wir einen Wert von H* = 9,92 erhalten.
Die bei beiden Methoden erhaltenen unterschiedlichen Ergebnisse vergrößern sich je nachdem, wie groß der Unterschied zwischen den Werten N bzw. m ist.
Fazit
Die vorher beschriebene Methode zur Berechnung der Haltestellen und der höchsten Umkehretage eines Aufzugs während einer Aufwärtsspitze bei gleichmäßiger Etagenbelegung und zeitlich gleichmäßig verteiltem Fahrgastaufkommen ermöglicht nicht nur die Bestimmung der genauen Erwartungswerte dieser Variablen, sondern auch ihrer detaillierten Wahrscheinlichkeitsverteilung.
3/2004
